Существуют системы записи чего угодно. Вопрос - сколько человек хотите писать и сколько денег готовы заплатить?

Сравните трейсы со звонками на Ale-300 (которые нормальные).
Возможно там в сообщениях Ringing  сразу посылается SDP информация. Тогда и на Ale-2 это надо включить.

Не во всех релизах есть эта галка. У вас какой?

Чего там запутанного, мне помнилось что при установке можно было сразу указать АТС.
А если нет - запускаете модуль конфигурации. Создаете сеть/подсеть/АТС. Запускаете частичную синхронизацию и надеетесь на чудо.  
Инсталляшка на ОмниВисту должна содержать доку. Там должно быть описано  как прописать подключение к АТС для конфигурирования.

8770 в отличии от веб-морды - позволяет групповые операции (менеджмент кучки, например абонентов.
Ну и там не только менеджмент - но и тарификация, алармы и пр.

Организовать запись разговоров (если есть лицензии), но их у вас скорее всего нет.
Воспользоваться сторонними коробочками - единственно что упомянутая - не для IP, а для цифровых телефонов (типа 4029).
Если поменять тип аппарата на цифровой - то можно и Алкателевский UA recording box поискать.
Ну и последнее - поменять тип аппарата на аналоговый - и тогда с записью вообще проблем быть не должно.

Документацию на англицком - можно найти тут. https://www.alcatelunleashed.com/viewtopic.php?t=24378
Не уверен что она доступна без регистрации и/или новорегам.
8770 дистрибутива на АТС нет.  

Его создают - много для чего:
- для возможности принимать много звонков на один или несколько номеров.
- для доступа к функциям, которые работают ТОЛЬКО на Multiline аппаратах - директор-секретарь, supervision и т.п.

Я вам перед этим ответил - ЧТО надо чтоб иметь второй вызов на multi-line аппарате.
Далее вопрос - не могут дозвониться на ваш аппарат.
Цифровой, multi-line, аналоговый, обычный SIP, что на нем запрограммировано, что слышит вызывающий... Если хотите услышать ответ - задайте корректный вопрос.

Хрустальный шар дома забыл. Не вижу - что у вас законфигурено.

Что значить как? На кнопке запрограммировано - Multi-line и указан номер. На первой кнопке с номером аппарата, на следующих или с ним же (если надо много-линейность) или с другими (если хочется иметь несколько номеров на одном аппарате.
Кроме того:
- Public Network COS (Access COS) - в ней задаётся поведение аппаратов при внешних звонках, когда аппарат - занят, не отвечает и т.п.
- User/ Dynamic state user - Camp-on - стоит или нет галочка (будет уведомление о втором вызове или нет).  

Например записано с телефона - как приветствие в почтовом ящике данного номера.

В документации. Это маршрутизация (фильтрация) звонка по номеру вызывающего.

Скорее всего - для приёма городских звонков создавалась группа. Потом в процессе работы - абоненты удалялись и создавались. То, что они при этом исчезали из hunt group - внимания не обращали.

Возможно 8-ка подставлялась в тех правилах, которые использовались. Добавив правило В - удалить 1 - ничего не добавлять - не показываются теперь обе цифры.